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Uma dedução comentada da fórmula de Bhaskara

15 de maio de 2008 Acervo Ajuda Matemática

Formula de Bhaskara e graficos da funcao quadratica - Matematica - Bloguru

Acervo Ajuda Matemática

Este artigo foi importado do acervo histórico do Ajuda Matemática e preserva a estrutura de explicação original, com fórmulas em formato matemático renderizadas no Bloguru.

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Sendo $f$ uma função do segundo grau, temos:
$f(x) = ax^2+bx+c$

Com $a,b,c \in \Re$ e $a \neq 0$ .

O objetivo é encontrar uma expressão que determine as raízes desta função.
Ou seja, quais os valores para $x$ onde:
$f(x) = 0$

Portanto, o que de fato buscamos é “isolar” x nesta equação:

$ax^2+bx+c = 0$

Vamos dividir por $a$ os dois membros da equação.

$\frac{ax^2+bx+c}{a} = \frac{0}{a}$

$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} = \frac{0}{a}$

$1\cdot x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0$

Agora, subtrairemos $\frac{c}{a}$ :

$x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\frac{c}{a} - \frac{c}{a}}_{=0} = 0 - \frac{c}{a}$

$x^2+\frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$

Antes de prosseguir, lembre-se de um quadrado perfeito, onde:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

Proveniente da propriedade distributiva $(a+b)\cdot (a+b)$ .

Vamos “criar” um quadrado perfeito no primeiro membro da equação.
Para facilitar a visualização, vamos reescrever o quadrado perfeito com outras letras:
$(x+z)^2 = x^2+2xz+z^2$

Se chamarmos $\frac{b}{a}x = 2xz$ , assim:

$x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} = - \frac{c}{a}$

Podemos somar e em seguida subtrair $z^2$ , sem alterarmos a equação, pois $z^2-z^2 = 0$

$x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} + z^2 - z^2 = - \frac{c}{a}$

De modo que assim podemos destacar um quadrado perfeito:

$\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ z^2}_\text{quadrado perfeito} - z^2 = - \frac{c}{a}$

E fazendo a substituição da variável $z$ , lembrando que:
$\frac{b}{a}x = 2xz$

$\frac{b}{a} = 2z$

$z = \frac{b}{2a}$

$\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ \left( \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}$

Com o quadrado perfeito visualizado, vamos reescrever a equação:

$\underbrace{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}$

Somando $\left( \frac{b}{2a} \right)^2$ nos dois membros:

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}$

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}$

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$

Deixando o segundo membro com o mesmo denominador (m.m.c.):

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2- 4ac}{4a^2}$

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:

$\sqrt{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}$

Aqui, cuidado, note que:

$\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$

Pois como $\alpha \in \Re$ está elevado ao quadrado e a raiz deve ser positiva, eis o papel do módulo: garantir que o resultado da raiz seja positivo, mesmo que $\alpha$ seja negativo.

Lembrando a definição de módulo:
$|\alpha| = \left\{ \begin{matrix} \alpha & \text{se} & \alpha \geq 0 \\ -\alpha & \text{se} & \alpha < 0 \end{matrix} \right.$
Veja em um exemplo o papel e importância do módulo, com $\alpha = -2:$
$\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$

De fato, pois:
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

Veja o que aconteceria se não utilizássemos o módulo:
$\xcancel{ \begin{array}{l} \sqrt{\alpha^2} = \alpha \\ \sqrt{(-2)^2} = -2 \end{array} }$
Não deve ocorrer no conjunto dos números reais.

Após estas observações, vamos utilizar módulo na simplificação da raiz:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}$

Separando as raízes do segundo membro, numerador e denominador:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{\sqrt{4a^2}}$

Extraindo a raiz do denominador e novamente, o módulo aparece:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2|a|}$

Igualmente, também podemos escrever assim:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \left| \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \right|$

E pela definição de módulo:

x + \frac{b}{2a} = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{se} & x + \frac{b}{2a} \geq 0 \\ \frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{se} & x + \frac{b}{2a} < 0 \end{matrix} \right.

Subtraindo $\frac{b}{2a}$ dos dois membros:

x = \left\{ \begin{matrix} - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{ou} \\ - \frac{b}{2a} + \left( \frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \end{matrix} \right.

x = \left\{ \begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{ou} \\ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix} \right.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$

(fórmula de Bhaskara)

Como nos reais o radicando desta raiz $\sqrt{b^2- 4ac}$ deve sempre ser positivo, ele é freqüentemente avaliado (estudo de sinal), chamado de discriminante (Delta):

$\Delta = b^2-4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Portanto, as raízes de uma função do segundo grau $f(x) = ax^2+bx+c$ , são obtidas pela expressão:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Sendo que:
Se $\Delta > 0$ , as duas raízes são reais e distintas;
Se $\Delta = 0$ , há um par de raízes reais e iguais;
Se $\Delta < 0$ , há um par de raízes complexas.

Fonte: Ajuda Matemática – tópico 253.

Complemento: aplicações e interpretação

Para que serve a fórmula de Bhaskara na prática?

Após aprofundar na dedução da fórmula de Bhaskara, é crucial compreender seu valor prático e o contexto em que ela se aplica. Longe de ser apenas um exercício algébrico, esta fórmula é uma ferramenta poderosa para resolver equações do segundo grau, que são aquelas na forma $ax^2 + bx + c = 0$ , onde $a \neq 0$ . Resolver a equação significa encontrar os valores de $x$ que a satisfazem, conhecidos como suas raízes ou zeros da função quadrática associada.

O Papel Fundamental do Discriminante ( $\Delta$ )

Um componente essencial da fórmula de Bhaskara é o discriminante, $\Delta$ , que nos informa sobre a natureza das raízes antes mesmo de calculá-las. Ele é dado por:

$\Delta = b^2 - 4ac$

O valor de $\Delta$ define o tipo de raízes:

Se $\Delta > 0$ : A equação possui duas raízes reais e distintas.
Se $\Delta = 0$ : A equação possui uma raiz real (também chamada de raiz dupla ou duas raízes reais e iguais).
Se $\Delta < 0$ : A equação não possui raízes reais (suas raízes são complexas e conjugadas).

Interpretação Gráfica: A Parábola e Suas Raízes

Toda função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem como gráfico uma parábola. As raízes da equação $ax^2 + bx + c = 0$ correspondem aos pontos onde a parábola intercepta o eixo $x$ .

Concavidade: O coeficiente determina a abertura:
- Se $a > 0$ , a parábola abre para cima (ponto de mínimo).
- Se $a < 0$ , a parábola abre para baixo (ponto de máximo).
Relação com o Discriminante:
- $\Delta > 0$ : A parábola corta o eixo $x$ em dois pontos.
- $\Delta = 0$ : A parábola toca o eixo $x$ em um único ponto (o vértice está no eixo $x$ ).
- $\Delta < 0$ : A parábola não cruza nem toca o eixo $x$ .

Aplicações no Cotidiano: Onde a Função do 2º Grau Aparece

As funções quadráticas e a fórmula de Bhaskara modelam fenômenos em diversas áreas:

Física e Engenharia: A trajetória de objetos lançados (projéteis, água de fontes) descreve uma parábola. A fórmula ajuda a determinar quando o objeto atinge o chão ou uma altura específica.
Otimização e Geometria: Problemas de maximização de área (ex: maior terreno retangular com cerca limitada) ou minimização de custos frequentemente resultam em funções quadráticas.
Economia e Negócios: Modelos de receita, custo e lucro em empresas podem ser quadráticos. A fórmula auxilia a encontrar o ponto de lucro ou receita máxima.
Design e Arquitetura: Arcos de pontes, antenas parabólicas e faróis de carro são projetados com base nas propriedades das parábolas para foco e distribuição.

Exemplo Numérico Simples

Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação $x^2 - 7x + 10 = 0$ .
Aqui, os coeficientes são $a = 1$ , $b = -7$ e $c = 10$ .

Primeiro, calculamos o discriminante:
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10$
$\Delta = 49 - 40$
$\Delta = 9$

Como $\Delta = 9 > 0$ , sabemos que teremos duas raízes reais e distintas.

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{7 \pm 3}{2}$

As duas soluções são:

$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Assim, as raízes da equação $x^2 - 7x + 10 = 0$ são $x = 5$ e $x = 2$ .

Grafico da parabola f(x)=x2-7x+10 com raizes 2 e 5 - Matematica - Bloguru — Gráfico de f(x) = x² − 7x + 10, com raízes em x = 2 e x = 5 (a parábola corta o eixo x)

Como encontrar o vértice da parábola

O vértice de uma parábola é um ponto crucial: ele representa o ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática, dependendo da concavidade da parábola. Além disso, o vértice está sempre localizado sobre o eixo de simetria da parábola, que divide a figura em duas metades espelhadas. Vamos deduzir as coordenadas desse ponto para a nossa função exemplo, $f(x) = x^2 - 7x + 10$ , onde $a=1$ , $b=-7$ e $c=10$ .

1. Calculando a abscissa do vértice ( $x_v$ )

A abscissa do vértice, ou seja, o valor de $x$ no vértice, pode ser encontrada de diversas maneiras. Uma forma intuitiva é lembrar que o vértice está no eixo de simetria, que é o ponto médio entre as duas raízes da parábola (se elas existirem). As raízes de uma função quadrática são dadas pela fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

As duas raízes seriam: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
O ponto médio entre elas é $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .
Substituindo as raízes: $x_v = \frac{\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) + \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)}{2}$
Simplificando o numerador: $x_v = \frac{\frac{-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}}{2a}}{2} = \frac{\frac{-2b}{2a}}{2}$
Chegamos à fórmula: $\mathbf{x_v = \frac{-b}{2a}}$ .

Aplicando à nossa função $f(x) = x^2 - 7x + 10$ (com $a=1$ e $b=-7$ ):

$x_v = \frac{-(-7)}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$

Portanto, a abscissa do vértice é $\frac{7}{2}$ .

2. Calculando a ordenada do vértice ( $y_v$ )

Para encontrar a ordenada do vértice (o valor de $y$ ), basta substituir o valor de $x_v$ que acabamos de encontrar na função original. Afinal, o vértice é um ponto da parábola.

$y_v = f\left(\frac{7}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2}\right) + 10$

Vamos calcular passo a passo:

$\left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}$
$7\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{49}{2}$
Então, $y_v = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 10$
Para somar e subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 4:
$y_v = \frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{10 \cdot 4}{1 \cdot 4}$
$y_v = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{40}{4}$
$y_v = \frac{49 - 98 + 40}{4} = \frac{-49 + 40}{4} = \frac{-9}{4}$

A ordenada do vértice é $-\frac{9}{4}$ . Assim, o vértice da parábola é o ponto $\left(\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right)$ .

Verificação com o discriminante ( $\Delta$ )

Existe uma fórmula alternativa para a ordenada do vértice que envolve o discriminante ( $\Delta = b^2 - 4ac$ ). A fórmula é $\mathbf{y_v = -\frac{\Delta}{4a}}$ . Vamos verificar se nosso resultado está correto:

Primeiro, calculamos o discriminante para $f(x) = x^2 - 7x + 10$ :
$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$ .
Agora, aplicamos a fórmula para $y_v$ :
$y_v = -\frac{9}{4 \cdot 1} = -\frac{9}{4}$ .

O resultado é o mesmo, confirmando que o vértice da parábola é, de fato, $\left(\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right)$ .

Complemento: aplicações e interpretação

Para que serve a fórmula de Bhaskara na prática?

O Papel Fundamental do Discriminante ()

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Como encontrar o vértice da parábola

1. Calculando a abscissa do vértice ()

2. Calculando a ordenada do vértice ()

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